헬리콥터 큐브

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 해석
3. 해법
- 3.1. 궤도 (군론)
4. 조합의 수
- 4.1. 점블링되지 않은 경우
- 4.2. 점블링된 경우
참조

1. 개요

헬리콥터 큐브는 8개의 모서리 조각과 24개의 면 중심 조각으로 구성된 정육면체 퍼즐이다. 루빅 큐브와 유사하게 보이지만, 면이 회전하는 대신 모서리 조각 주변으로 회전하여 섞인다. 180° 회전 외에 약 71°로 모서리를 비틀어 조각을 섞는 '점블링 이동'이 가능하며, 이로 인해 큐브의 모양이 변형될 수 있다. 오리지널 헬리콥터 큐브 외에 Curvy Copter, Curvy Copter Plus, Helicopter Skewb, Curvy Copter 3 등 다양한 변형이 존재한다. 헬리콥터 큐브의 조합 수는 점블링 이동의 유무에 따라 달라지며, 점블링되지 않은 경우 약 49경 가지, 점블링된 경우 약 1.56양 가지의 조합을 갖는다.

더 읽어볼만한 페이지

큐브 퍼즐 - 루빅스 큐브
루빅스 큐브는 헝가리 건축학자 루비크 에르뇌가 고안한 3차원 조합 퍼즐로, 26개의 작은 큐브 조각으로 구성되어 각 면을 돌려 섞인 색상을 맞추는 방식으로, 1980년대 초 전 세계적으로 2억 개 이상 판매되었으며, 수학적 군론과 관련이 깊다.
큐브 퍼즐 - 스큐브
스큐브는 루빅스 큐브의 코너를 자른 형태의 3차원 퍼즐로, 8개의 코너 조각이 특정 제약 조건 하에 회전하며, 스큐브 다이아몬드, 스큐브 얼티메이트 등의 변형 퍼즐을 포함하고 스피드큐빙 종목으로도 인기가 있다.
루빅스 큐브 - 슈퍼플립
슈퍼플립은 루빅스 큐브의 특정 상태를 의미하며, 슈퍼플립 알고리즘을 적용하면 큐브의 방향에 관계없이 동일한 배치를 얻을 수 있고, 자기 역변환이며 다른 모든 알고리즘과 교환 가능하다.
루빅스 큐브 - 루비크 에르뇌
헝가리의 조각가이자 건축가, 발명가인 루비크 에르뇌는 루빅 큐브를 발명하여 세계적인 인기를 얻었으며, 건축학 교수, 루비크 스튜디오 설립, 헝가리 공학 아카데미 회장 역임 등 다양한 분야에서 활동하고 있다.

헬리콥터 큐브
기본 정보
헬리콥터 큐브
고안자	애덤 G. 코언
제작자	가츠히코 오카모토
유형	조합 퍼즐
변형
변형	커비 콥터

2. 해석

헬리콥터 큐브는 8개의 모서리 조각과 24개의 면 중심 조각으로 잘린 정육면체 모양으로 만들어졌다. 각 모서리 조각은 3가지 색상을 가지고 있으며, 각 면 중심 조각은 단일 색상만 가지고 있다. 루빅 큐브와 달리, 면이 회전하지 않고, 큐브 모서리 주위로 회전하여 조각을 섞는다.

퍼즐을 비틀 때, 180° 회전은 두 개의 모서리 조각을 교환하고 두 쌍의 면 중심 조각을 맞바꾸지만 큐브 모양은 유지한다. 이 방식으로 전체 퍼즐을 섞을 수 있다.

그러나 모서리를 ~71°로 비틀어 모서리 조각과 면 중심 조각의 두 그룹의 베이스가 서로 다른 모서리의 회전면에 정렬되도록 하는 것도 가능하다. 그런 다음 두 번째 모서리를 회전하여 모서리 조각과 면 중심 조각을 혼합하여 퍼즐을 정육면체 모양이 아닌 상태로 만들 수 있다. 이러한 종류의 혼합을 ''점블링 동작''이라고 한다. 혼합된 조각의 모양이 다르기 때문에 정육면체 모양에서 가능한 일부 회전은 점블링된 모양에서는 더 이상 불가능할 수 있다. 이러한 "점블링" 동작의 조합을 사용하여 정육면체 모양으로 돌아갈 수 있지만 일부 면 중심 조각은 잘못된 방향으로 되어 있어 큐브 면에 평평하게 놓이기보다는 스파이크처럼 튀어나오게 된다. 나중에 설명할 미묘한 변화도 도입될 수 있다.

헬리콥터 큐브에는 네 가지 변형이 있다.

The Twisty Store에서 제조(우베 메페르트에서도 판매)한 오리지널 헬리콥터 큐브는 8개의 모서리 조각과 24개의 면 중심 조각으로만 구성된다.
톰 반 데르 잔덴(Tom van der Zanden)의 "Curvy Copter",^[12] 12개의 추가 모서리 조각이 각각 2가지 색상을 가지고 있다. 헬리콥터 큐브에서는 이들이 밑에 숨겨져 있어 구축하는 위치가 중요하지 않지만, 이 경우 모서리 조각을 중심으로 구축해야 한다.
톰 반 데르 잔덴(Tom van der Zanden)이 만든 "Curvy Copter Plus", 면 중심 조각 중간에 추가로 잘라 퍼즐을 더 많이 점블링할 수 있다.
톰 반 데르 잔덴(Tom Van Der Zanden)의 "Helicopter Skewb", 오리지널 헬리콥터 큐브와 똑같이 보이지만 스큐브처럼 비틀 수도 있다.
2014년 mf8에서 제작한 "Curvy copter 3"

2. 1. 구조

헬리콥터 큐브는 정육면체 모양으로, 8개의 귀퉁이 조각과 24개의 면 중앙 조각으로 구성된다.^[4] 각 귀퉁이 조각은 3가지 색을, 면 중앙 조각은 한 가지 색을 가진다. 루빅스 큐브와는 다르게 면이 회전하는 대신, 조각들은 정육면체 모서리 주변을 돌면서 섞인다.

180° 회전은 두 귀퉁이 조각을 교환하고 면 중앙 조각 쌍을 뒤집지만, 정육면체 모양은 유지된다. 하지만, 모서리를 ~71°만큼 돌려서 두 귀퉁이 조각과 면 중앙 조각이 다른 모서리의 그룹의 밑면이 회전면에 정렬되도록 하는 것도 가능하다. 두번째 모서리는 회전할 수 있어서, 귀퉁이 조각과 면 중앙 조각을 섞으며 퍼즐이 정육면체 형태에서 벗어나게 한다. 이런 종류의 섞는 것은 ''점블링 이동''(jumbling move)이라고 불린다. 점블링 이동 후에는 조각들의 모양 변화로 인해 일부 회전이 불가능할 수도 있다. 점블링 이동을 조합하여 큐브 모양으로 되돌릴 수 있지만, 면 중앙 조각이 잘못된 방향으로 놓여 가시처럼 튀어나올 수 있다.^[4]

2. 2. 작동 방식

헬리콥터 큐브는 정육면체 모양이며 귀퉁이 조각 8개와 면 중앙 조각 24개로 구성된다.^[4] 각 꼭짓점 조각은 3가지 색을, 면 중앙 조각은 한 가지 색을 가진다.^[4] 루빅스 큐브와는 다르게 면이 회전하지 않고, 조각들은 정육면체 모서리 주변을 돌면서 섞인다.^[4]

180° 회전은 두 귀퉁이 조각을 교환하고 면 중앙 조각 쌍을 뒤집지만, 정육면체 모양은 그대로 유지된다. 하지만 모서리를 ~71°만큼 돌려서 두 귀퉁이 조각과 면 중앙 조각이 다른 모서리의 그룹의 밑면이 회전면에 정렬되도록 하는 것도 가능하다.^[12]^[4] 이후 두번째 모서리를 회전할 수 있어서, 귀퉁이 조각과 면 중앙 조각을 섞으며 퍼즐이 정육면체 형태에서 벗어나게 한다. 이러한 섞는 방식을 ''점블링 이동''(jumbling move)이라고 부른다. 점블링 이동 후에는 조각들의 모양이 변하기 때문에, 정육면체 모양일 때 가능했던 일부 회전이 불가능해질 수 있다.^[12]^[4]

이러한 점블링 이동들을 조합하면 큐브 모양으로 되돌릴 수는 있지만, 면 중앙 조각들이 잘못된 방향으로 놓여 면이 평평하지 않고 가시처럼 튀어나올 수 있다.

2. 3. 변형

헬리콥터 큐브는 다양한 변형이 존재한다.

오리지널 헬리콥터 큐브: 우베 메페르트(Uwe Mèffert)가 판매하고 The Twisty Store에서 제조한 버전으로, 8개의 귀퉁이 조각과 24개의 면 중앙 조각으로 구성된다.^[4]
커비콥터 (Curvy Copter): 톰 반 데르 잔덴(Tom van der Zanden)이 만든 버전으로, 2가지 색을 가진 12개의 추가 모서리 조각이 있다.^[4] ^[12]
커비콥터 플러스 (Curvy Copter Plus): 톰 반 데르 잔덴이 만들었으며, 중앙 면 조각을 추가적으로 잘라 더 많은 점블링 이동을 가능하게 했다.
헬리콥터 스큐브 (Helicopter Skewb): 톰 반 데르 잔덴이 만들었으며, 외형은 오리지널 헬리콥터 큐브와 동일하지만 스큐브처럼 움직인다.
Curvy Copter 3: 2014년 mf8에서 제작되었다.

헬리콥터 큐브는 모서리를 ~71° 회전시켜 점블링 이동을 할 수 있으며, 이로 인해 정육면체 모양이 변형될 수 있다.^[4]

3. 해법

퍼즐이 180° 회전만을 사용해서 섞였다면, 이것은 자명하게 180° 회전만을 이용해서 풀 수 있다. 하지만, 점블링 이동을 몇 번 했으면, 심지어 퍼즐이 우연히 정육면체 형태로 되돌아왔다고 하더라도, 이것은 180° 회전만을 이용해서 풀 수 없을 수 있다. 그 이유는 180° 회전만을 사용하면 각 면 중앙 조각이 ''궤도''를 가리키는 6-원소 주기 안에서만 조합되기 때문이다.^[14]^[6] 다른 궤도에 있는 면 중앙 조각은 180° 회전만으로 교환할 수 없다. 하지만, 점블링 이동은 다른 궤도간 면 중앙 조각 조합을 가능하게 하기 때문에, 퍼즐을 180° 회전만으로 풀 수 없는 상태로 만든다.

3. 1. 궤도 (군론)

헬리콥터 큐브가 180° 회전만으로 섞였다면, 180° 회전만을 이용해서 풀 수 있다. 하지만, 점블링 이동을 한 경우에는, 퍼즐이 우연히 정육면체 형태로 되돌아왔다고 하더라도, 180° 회전만으로 풀 수 없을 수 있다.^[14]^[6] 그 이유는 180° 회전만을 사용하면 각 면 중앙 조각이 ''궤도''를 가리키는 6-원소 주기 안에서만 조합되기 때문이다.^[14] 다른 궤도에 있는 면 중앙 조각은 180° 회전만으로 교환할 수 없다.^[14]^[6] 점블링 이동은 다른 궤도간 면 중앙 조각 조합을 가능하게 하기 때문에, 퍼즐을 180° 회전만으로 풀 수 없는 상태로 만든다.^[14]^[6]

4. 조합의 수

헬리콥터 큐브의 조합의 수는 점블링(jumbling) 이동의 유무에 따라 크게 달라진다.

== 점블링되지 않은 경우 ==

헬리콥터 큐브는 180° 회전만으로 섞었을 때, $\frac{7!\cdot 3^6 \cdot 6!^4}{2}$ 가지, 즉 약 49경(京) 가지의 조합을 갖는다.^[14] 코너 조각은 8!×3⁷가지, 면 중심 조각은 6!⁴/2가지 방식으로 배열될 수 있다.^[8] 이때, 큐브를 회전시켜서 겹치는 경우는 제외한다.^[6]

구체적인 계산 과정은 다음과 같다.

코너 조각의 경우, 7개는 독립적으로 회전 및 순열이 가능하며, 마지막 8번째 조각은 나머지 7개에 의해 결정되므로 8!×3⁷가지의 조합이 가능하다.^[14]
면 중심 조각은 4개씩 6개의 색깔로 구성되어 총 24!가지의 배열이 가능하지만, 같은 색깔 내에서는 순서를 바꿔도 동일하므로 6!⁴가지로 줄어든다. 또한 면 중심 조각의 순열은 짝수 순열만 가능하므로 2로 나눈다.^[8]
공간에서 큐브의 방향은 고정되어 있지 않으므로, 회전시켜서 동일한 경우는 제외해야 한다. 이는 24로 나누는 것과 같다.^[6]

위의 계산들을 종합하면, 헬리콥터 큐브의 총 조합 수는

\frac{7!\cdot 3^6 \cdot 6!^4}{2}\approx 4.94\times 10^{17}

이 된다.^[6]

== 점블링된 경우 ==

헬리콥터 큐브는 점블링 이동으로 인해 다양한 형태를 가질 수 있으며, 이는 가능한 조합의 수에 큰 영향을 미친다. 점블링된 헬리콥터 큐브의 총 조합의 수를 계산하기 위해서는 점블링 이동으로 섞였지만 정육면체 모양을 유지하는 경우의 조합 수와 점블링으로 인해 가능한 모양의 수를 고려해야 한다.^[16]^[17]

점블링 이동으로 섞였지만 여전히 정육면체 모양으로 남아있는 헬리콥터 큐브는

\frac{7!\cdot 3^6 \cdot 24!}{4!^6}

가지 조합을 가진다. 풀어쓴 숫자는 119,287,870,206,280,776,000,000 (약 119해(垓))이다.^[16]

점블링 되었을 때, 헬리콥터 큐브는 총 1,305,133가지의 모양을 가질 수 있다. 이를 정육면체 모양일 때의 조합 수에 곱하면 점블링 된 위치를 포함한 조합의 수를 구할 수 있으며, 이 값은 1,556,865,359,059,338,480,232,080,000,000 (약 1.56양(穰))이다.^[17]

이러한 모양의 다양성은 대칭성에 의해 영향을 받는다. Matt Galla는 [http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=28265 TwistyPuzzles 포럼의 게시물]에서 헬리콥터 큐브의 모양과 대칭성에 대한 분석 결과를 제시했다.^[8] 대칭성을 분석한 결과는 다음과 같다.^[8]

colspan=2\|	50px	50px	50px	50px	50px	50px	50px	50px	50px	50px	50px	50px
대칭		mr₄r₃r₂	mr₃r₂	r₃r₂	m_fr_2e	m_er_2e	r_2er_2e	m₄	m_e	r_2e	r_2f	m_c	i	총계
	국제	O_h	D_3d	D₃	C_2v	C_2h	D₂	S₄	C_s	C₂	C₂	S₂	C₁
	쇤플리스	mm	m	322	mm2	2/m	222		m	2	2		1
차수		48	12	6	4	4	4	4	2	2	2	2	1
지수		1	4	8	12	12	12	12	24	24	24	24	48
모양 거울 이미지		1	1	8	1	18	4	1	82	764	5	37	13,176	14,098
모양 거울 이미지		1	1	16	1	18	8	1	82	1,528	10	37	26,352	28,055
총계		1	4	128	12	216	96	12	1,968	36,672	240	888	1,264,896	1,305,133

위 표에서 "차수"는 대칭군의 크기, "지수"는 전체 입방 대칭군의 부분군으로서의 대칭군의 지수를 나타낸다. 지수는 해당 대칭을 가진 특정 모양이 공간에서 방향을 가질 수 있는 횟수를 의미한다(반사 포함).^[8]

결과적으로 점블링된 헬리콥터 큐브의 총 조합 수는 약 1.56양(穰)이다.^[8]

4. 1. 점블링되지 않은 경우

헬리콥터 큐브는 180° 회전만으로 섞었을 때,

\frac{7!\cdot 3^6 \cdot 6!^4}{2}

가지, 즉 약 49경 가지의 조합을 갖는다.^[14] 코너 조각은 8!×3⁷가지, 면 중심 조각은 6!⁴/2가지 방식으로 배열될 수 있다.^[8] 이때, 큐브를 회전시켜서 겹치는 경우는 제외한다.^[6]

구체적인 계산 과정은 다음과 같다.

코너 조각의 경우, 7개는 독립적으로 회전 및 순열이 가능하며, 마지막 8번째 조각은 나머지 7개에 의해 결정되므로 8!×3⁷가지의 조합이 가능하다.^[14]
면 중심 조각은 4개씩 6개의 색깔로 구성되어 총 24!가지의 배열이 가능하지만, 같은 색깔 내에서는 순서를 바꿔도 동일하므로 6!⁴가지로 줄어든다. 또한 면 중심 조각의 순열은 짝수 순열만 가능하므로 2로 나눈다.^[8]
공간에서 큐브의 방향은 고정되어 있지 않으므로, 회전시켜서 동일한 경우는 제외해야 한다. 이는 24로 나누는 것과 같다.^[6]

위의 계산들을 종합하면, 헬리콥터 큐브의 총 조합 수는

\frac{7!\cdot 3^6 \cdot 6!^4}{2}\approx 4.94\times 10^{17}

이 된다.^[6]

4. 2. 점블링된 경우

헬리콥터 큐브는 점블링 이동으로 인해 다양한 형태를 가질 수 있으며, 이는 가능한 조합의 수에 큰 영향을 미친다. 점블링된 헬리콥터 큐브의 총 조합의 수를 계산하기 위해서는 점블링 이동으로 섞였지만 정육면체 모양을 유지하는 경우의 조합 수와 점블링으로 인해 가능한 모양의 수를 고려해야 한다.^[16]^[17]

점블링 이동으로 섞였지만 여전히 정육면체 모양으로 남아있는 헬리콥터 큐브는

\frac{7!\cdot 3^6 \cdot 24!}{4!^6}

가지 조합을 가진다. 풀어쓴 숫자는 119,287,870,206,280,776,000,000 (약 119해)이다.^[16]

점블링 되었을 때, 헬리콥터 큐브는 총 1,305,133가지의 모양을 가질 수 있다. 이를 정육면체 모양일 때의 조합 수에 곱하면 점블링 된 위치를 포함한 조합의 수를 구할 수 있으며, 이 값은 1,556,865,359,059,338,480,232,080,000,000 (약 1.56양)이다.^[17]

이러한 모양의 다양성은 대칭성에 의해 영향을 받는다. Matt Galla는 [http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=28265 TwistyPuzzles 포럼의 게시물]에서 헬리콥터 큐브의 모양과 대칭성에 대한 분석 결과를 제시했다.^[8] 대칭성을 분석한 결과는 다음과 같다.^[8]

colspan=2\|
대칭		mr₄r₃r₂	mr₃r₂	r₃r₂	m_fr_2e	m_er_2e	r_2er_2e	m₄	m_e	r_2e	r_2f	m_c	i	총계
	국제	O_h	D_3d	D₃	C_2v	C_2h	D₂	S₄	C_s	C₂	C₂	S₂	C₁
	쇤플리스	mm	m	322	mm2	2/m	222		m	2	2		1
차수		48	12	6	4	4	4	4	2	2	2	2	1
지수		1	4	8	12	12	12	12	24	24	24	24	48
모양 거울 이미지		1	1	8	1	18	4	1	82	764	5	37	13,176	14,098
모양 거울 이미지		1	1	16	1	18	8	1	82	1,528	10	37	26,352	28,055
총계		1	4	128	12	216	96	12	1,968	36,672	240	888	1,264,896	1,305,133

위 표에서 "차수"는 대칭군의 크기, "지수"는 전체 입방 대칭군의 부분군으로서의 대칭군의 지수를 나타낸다. 지수는 해당 대칭을 가진 특정 모양이 공간에서 방향을 가질 수 있는 횟수를 의미한다(반사 포함).^[8]

결과적으로 점블링된 헬리콥터 큐브의 총 조합 수는 약 1.56양(穰)이다.^[8]

참조

_[1] 웹사이트 Helicopter Cubes Black body http://www.mefferts.[...] Mèffert's 2010-09-01
_[2] 웹사이트 Helicopter Cube - White Body http://www.puzzlemas[...] Puzzle Master Inc. 2010-09-01
_[3] 웹사이트 Helicopter Cube white http://puzzles.schwa[...] Extremely Puzzling 2010-09-01
_[4] 웹사이트 Curvy Copter http://www.tomvander[...] 2010-09-01
_[5] 웹사이트 System of twisty puzzles http://deep-cut.net/[...] 2010-09-01
_[6] 웹사이트 L'Helicopter Cube (French) https://fan2cube.fr/[...] fan2cube 2010-09-01
_[7] 웹사이트 Adam Cowan's Helicopter Cube Mass Production – 4/2010 http://www.puzzlefor[...] Puzzle Forge 2010-09-01
_[8] 웹사이트 Helicopter Cube http://www.jaapsch.n[...] 2017-12-12
_[9] 웹인용 Helicopter Cubes Black body http://www.mefferts.[...] Mèffert's 2010-09-01
_[10] 웹인용 Helicopter Cube - White Body http://www.puzzlemas[...] Puzzle Master Inc. 2010-09-01
_[11] 웹인용 Extremely Puzzling http://puzzles.schwa[...] 2010-09-01
_[12] 웹인용 Curvy Copter http://www.tomvander[...] 2010-09-01
_[13] 웹인용 System of twisty puzzles http://deep-cut.net/[...] 2010-09-01
_[14] 웹인용 L'Helicopter Cube (French) http://fan2cube.fr/h[...] fan2cube 2010-09-01
_[15] 웹인용 The Helicopter Cube http://www.puzzlefor[...] Puzzle Forge 2010-09-01
_[16] 웹사이트 http://www.jaapsch.n[...]
_[17] 웹사이트 http://www.jaapsch.n[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com